期待値 - 幸せに

期待値の計算は工夫の仕方がいろいろあります。次の問題を考えてみましょう。

問題

確率pで表が出るコインがあります。このコインを投げる操作を繰り返し，2回連続で表が出たらそこで操作を終了します。投げる回数の期待値を求めて下さい。

解法1

まずは，何も考えずに突き進むとどうなるかお見せいたします。

$n$ 回目で操作が終了する確率を $a_n$ とおくと， $a_n$ の一般項は

$a_n=\frac{p^2\left(\left(\frac{1-p+\sqrt{(1-p)(1+3p)}}{2}\right)^{n-1}-\left(\frac{1-p-\sqrt{(1-p)(1+3p)}}{2}\right)^{n-1}\right)}{\sqrt{(1-p)(1+3p)}}$

よって求める期待値は

$\sum_{k = 1}^\infty ka_k = \sum_{k=1}^\infty\frac{kp^2\left(\left(\frac{1-p+\sqrt{(1-p)(1+3p)}}{2}\right)^{k-1}-\left(\frac{1-p-\sqrt{(1-p)(1+3p)}}{2}\right)^{k-1}\right)}{\sqrt{(1-p)(1+3p)}} = \frac{1+p}{p^2}$

一般項を求めるために3項間漸化式を解き，級数の収束値を求めるために(1-x)S法(等差数列と等比数列の積の級数 $S=1+2x+3x^2+4x^3+\dots$ を求めるときにSをx倍してもとの級数Sから引く手法)を使いました。かなり面倒な計算でした。

でもなんとか答えは求まりました。 $\frac{1+p}{p^2}$ です。

実はこの問題には，工夫して解く方法があります。

期待値は，条件付き期待値の重み付き平均として表すことができます。つまり，全ての場合がA, B, …と場合分けされるとき，

$E(X) = P(A)E_A(X) + P(B)E_B(X) + \dots$

ということです。

簡単な例を出すと，サイコロを振ったとき

出た目が5以下である確率は $\frac{5}{6}$ 。出た目が5以下だったときの出た目の期待値は $\frac{1+2+3+4+5}{5}=3$ 。

出た目が6である確率は $\frac{1}{6}$ 。出た目が6であったときの出た目の期待値は $6$ (当たり前)。

出た目の期待値は $\frac{1+2+3+4+5+6}{6}=\frac{7}{2}$

です。出た目を確率変数Xでおき，出た目が5以下であった事象をA，6であった事象をBと表すと，これは

$P(A)=\frac{5}{6}$ ， $E_A(X)=3$

$P(B)=\frac{1}{6}$ ， $E_B(X)=6$

$E(X)=\frac{7}{2}$

という数式で表現することができます。そしてこのとき，

$P(A)E_A(X) + P(B)P_B(X) = \frac{7}{2} = E(X)$

が成り立っています。

このように，各平均の重み付き平均で全体の平均を求めるのと同じように，各場合の期待値の重み付き平均で全体の期待値を求めることができます。

コインの問題に戻ります。

この場合，場合分けして期待値を求めることはできませんが，いくつかの場合の期待値を，全体の期待値 $E(X)$ の式で表すことができます。すると， $E(X)$ の式で表された各場合の期待値の重み付き平均を左辺に，全体の期待値 $E(X)$ を右辺において方程式を立てて解くことで， $E(X)$ の値を求めることができます。